102. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1984/85

8. 8-Klasse (Mag. Alfred Buchinger) 1. Eine Polynomfunktion besitzt die zweite Ableitung f" (x) = i (1 - x 2 ), die Nullstelle N(3/0) u. schließt mit der x-Achse in [0;31eine Fläche mit A = ~ 8 E 2 ein. Bestimmen Sie die Funktion und diskutieren Sie diese in l-3,5;3,5 I. In welchem Verhältnis teilt die Wendetangente in W(x>0ly) die vom Graphen und der x-Achse eingeschlossene Fläche? 2. Um den Mittelpunkt der Hyperbel x 2 - y 2 = 9 ist ein Kreis gezeichnet , der durch die Brennpunkte der Hyperbel geht. Unter welchem Winkel schneiden sich Kreis und Hyperbel? Verschieben Sie den Kreis in Rich- tung der positiven y-Achse so, daß er die Hyperbel berührt. Die von der Hyperbel , dem verschobenen Kreis und der x-Achse begrenzte Fläche rotiert um die y-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Rotationskörpers? 3. Gegeben sind die Punkte A(4/3/-2) , 8(2/2/0) C(4/0/1) und die Gerade g: q = (7,3,-2) + Je. (2,1 ,-1). Zeigen Sie, daß das Dreieck ABC rechtwinklig-gleichschenklig ist und ergänzen Sie es zu einem Quadrat ABCD. Der Schnittpunkt P der Geraden g mit der Ebene durch A, B, C ist Fuß- punkt der Höhe einer Pyramide mit der Grundfläche ABCD und H = 6. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze (1 Lösung)! Weisen Sie nach, daß es sich um eine gerade Payramide handelt und bestimmen Sie den Winkel einer Seitenfläche mit der Grundfläche. 4. Ein Glücksrad (siehe Skizze) ist in sechs Sektoren / geteilt , wobei die Zentriwinkel 90°, 45°, 45°, 60°, 60°, /,t' 60° betragen . Die Zahl , auf die der Pfeil nach Still - @ stand des Rades zeigt , gilt als gezogen. (Es sei ange- 3 2 nommen , daß das Rad nie an einer Trennlinie hält .) 3 a) Das Rad wird dreimal gedreht. Wie groß ist die 1 2 Wahrscheinlichkeit, daß die Summe der drei gezogenen Zahlen 5 ergibt? b) Wie oft muß das Rad mindestens gedreht werden , damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,5 % mindestens einmal die 3 gezogen wird? c) Ein Spieler will für die Zahl 1 die Wahrscheinlichkeit p = 0,25 prü- fen. Er sieht die Annahme bestätigt ,wenn bei 20 Ziehungen minde- stens 3, höchstens jedoch 7 Einsen gezogen werden . Mit welcher Wahrscheinlichkeit lehnt er die Annahme fälschlicherweise ab? Lösung en: 72 1. f(x) = - ~• + 2 ; 2 + 3; N1(3/0), N2(-3/0) , T(0/3), H1(Y3/4), H2(-Y3/4) W1(1t 3 9 2 ), W2(-1/ 3 9 2 ) ; A, : A11 = 8 : 19