�eistung EUKLIDs, die gesamte Geometrie aus wenigen Grundbegriffen herauszuarbeiten, ist eine Wende im menschlichen Denken. KANT hat sie eine "Revolution" genannt. Nun hat unter den Axiomen dieser Geometrie das fünfte von Anfang an eine besondere Rolle gespielt. Es lautet: "Wenn eine Gerade zw·ei andere schneidet und dabei die inneren Winkel, die nach derselben Seite liegen, zusammen kleiner als zwei Rechte sind, so müssen die Geraden, ins Unendliche verlängert, auf der Seite einander schneiden, wo die Winkel liegen, die kleiner sind als zwei Rechte". 9„ o( + ß <: 180° � Schnittpunkt Schon dem Altertum war bei dem 5, Postulat des EUKLID unbehaglich zumute, Man hielt es für zu wenig selbstverständlich, um als Axiom gelten zu können, und PROKLUS verlangte deshalb in seinem Kommentar zu den "Elementen", das 5, Postulat aus der Reihe der Forderungen zu streichen und es aus den anderen Postulaten zu beweisen, zweitausend Jahre lang bemühten sich Mathematiker um einen solchen Beweis - immer vergeblich, Schließlich kam Carl Friedrich GAUSS ( 1777-1855 ) nach vergeblichen Beweisversuchen schon als Student auf die Vermutung, daß das 5, Postulat doch nicht beweisbar ist, Das 5, Postulat ist gleichwertig mit der Aussage, daß es durch einen gegebenen Punkt P zu einer gegebenen Geraden g nur eine Parallele.+) gibt (Satz 31 bei EUKLID), Es wi_rd deshalb auch das Parallenpostulat genannt. Wenn es aus den anderen Postulaten nicht bewiesen werden kann, dann darf man versuchen, es durch die Forderung zu ersetzen, daß es mehrere Parallele zu einer Geraden durch einen Punkt gibt, Ausgehend von diesem Grundsatz entwickelte GAUSS eine "nichteuklidische" Geometrie. Er hat sie selbst nie veröffentlicht, _·weil er sehr wohl wußte, daß sie allen gültigen +) Der Begriff "Parallele" oder "gleichlaufende" Gerade ist für die folgenden Überlegungen in dem Sinn zu verstehen, daß es si_ch um eine in derselben Ebene wie g liegende Gerade g1 handel,t, die mit g keinen (endlichen) Schnittpunkt hat. 16.
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