90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

zientenschema eine neue Bezeichnung einführen: ( b ) ( a, b1 c1 ) Erweiterte A = :: b: Koeffizientenmatrix Ae = a, bi c 2 Matrix Die Koeffizientenmatrix ist quadratisch, die erweiterte Matrix rechteckig. Die Matrizen können als Kurzschreibweise eines Gleichungssystems betrachtet werden z. B. A ( 2 1 3 ) tu· r 2x + y = 3 e = 1 2 3 X + 2y = 3 3. zweireihige Determinanten Wir ordnen nun der quadratischen Matrix ( a, b, ) a2 b2 eine Zahl zu, d ie De t e r m i n an t e heißt und folgendermaßen definiert ist: /:: g: / = a, b2 - a2b1 Die horizontalen Reihen heißen Z e i I e n, die vertikalen S p a I t e n, a,, b2 Hauptd iagonale, a,, b, Nebendiagonale der Determinante. Es seien einige Sätze über zweireihige Determinanten angeführt, die später auch für dreireihige Determinanten Giltigkeit haben. 1. Der Wert einer Determinante bleibt unverändert, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht. (Spiegelungssatz) 1:: t 1 = 1 ~: ~: 1 Beweis: beide Seiten werden ausgerechnet. 2. Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen , wenn man die beiden Zei len oder die beiden Spalten vertauscht. 1:: g: 1 = - 1:: g: 1 Der Beweis erfolgt durch Ausrechnen beider Seiten . 3. Eine Determinante mit zwei gleichen Reihen hat den Wert 0. , Beweis: / a, b1 / _ b b _ 0 a, b, - a, , - a, , - 4. Eine Determinante, in der die Elemente einer Reihe mit der gleichen Zahl k multipliziert werden, erhält den k-fachen Wert. Beweis: / a, b1 / / a, b1 / kai kb, = ka1b2 - ka2b1 = k (a1b2 - a2b1) = k 32 b 2 5. Eine Determinante, in der die Elemente einer Reihe proportional den Elementen einer anderen Reihe sind, hat den Wert o. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus den vorhergehenden Sätzen 4 u. 3. 4. Cramer'sche Regel Mit Hilfe des Determinantenbegriffes läßt sich die in Punkt 1 errechnete Lö- sungsmenge einfach schreiben: L = { ~• ' ~ 2 } Cramer'sche Regel Dabei ist D, = 1 c, b1 1 02 =1 a, c, 1 D c2 b2 a2 c2 1 a, b, 1 a2 b2 7