90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Die Gleichung 11x + 7y = 230 wird 11x = 4x (mod 7) 7y _ 0 (mod 7) 230 = 6 (mod 7) modulo 7 betrachtet: ====> 4x _ 6 (mod 7) 2x 3 (mod 7) 2x _ 10 (mod 7) x = 5 (mod 7) oder: x = 5 + 7 J. J. E Z Durch Einsetzen in 11x + 7y = 230 ergibt sich für y = 25 - 11 J. Es ist also die Lösungsmenge L = { (x, y) 1 x = 5 + 7 J. /\ y = 25 - 11 J.} b) Systeme von 2 Gleichungen in 2 Variablen Systeme von 2 Gleichungen in 2 Variablen lassen sich immer auf die Form bringen: a1x + b1y = c1 a., b., c. =l= 0 j 1 a2x + b2y = c2 1 1 1 Wenn c1 = c2 = 0 heißt das System homogen , sonst inhomogen. Wir wollen zunächst inhomogene Systeme betrachten. Ein solches System lösen heißt, Zahlenpaare (x, y) f inden, die beide Gleichungen erfüllen. Werden die Lösungsmengen der ersten Gleichung L,, die der zweiten mit L2 bezeich- net, so ist die Lösungsmenge L des Systems der Durchschnitt der beiden. 1. Gauß'scher Algorithmus Die Auflösung des obigen Systems I erfo lgt so, daß aus dem gegebenen System I ei n neues, äquivalentes System (mit derselben Lösungsmenge) abge- leitet wird, in dem die zweite Gleichung nur eine einzige Variable ent- hält, aus welcher dieselbe dann bestimmt wird. Wird die erste Gleichung mit -a2, die zweite mit a, multipliziert und werden beide Gleichungen addiert, so erhält man das System 11 : a,x + b1y = c, l 11 b2'y = c2' J Aus der zweiten Gleichung von II : (a1b2 - a2b,) . y = folgt: y = a1c2 - a2c1 a1b2 - a2b1 und durch Einsetzen in die erste Gleichung X = b2c1 - b1c2 a1b2 - a2b1 a,c2 - a2c1 Diese Brüche können gebildet werden, wenn der Nenner von Null verschie- den ist. Wie hier nicht näher ausgeführt werden soll, läßt sich leicht zeigen, daß die beiden Systeme I und II äquiva lent sind. Setzt man nämlich die gefundenen Ausdrücke für x und y in I ein, so sind die Gleichungen von 1 erfüllt und ist umgekehrt (xo, yo) eine Lösung von 1, so folgt aus 81Xo + b1yo = c, ===> (a1b2 - a2b1) xo = c1b2 - c2b1 a2xo + b2yo = c2 (a1b2 - aib,) yo = a,c2 - a2c, also ist jede Lösung von I auch eine solche von II. 2. Matrix Da es bei der .Lösung offensichtlich auf die Koeffizienten der Gleichungs- variablen und die Konstanten c, und c2 ankommt, wollen wir für das Koeffi- 6