90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Durch Subtraktion der beiden Gleichungen folgt: a . (X - xo) + b . (y - yo) = 0 oder (x - xo) : (y - yo) = b : (-a) Daher ist X - Xo = b . J, X = Xo + b . ,l y - yo = -a . ,l y = yo - a . ,l L = { (x, y) 1 x = xo + b . Ä /\ y = yo - a . ,l } ,l E R Satz : Die Lösungsmenge der inh_om?genen__ Gleichung ax + by = ? erh ält man indem man zu einer partikularen Losung der inhomogenen Glei- chung die ~llgemeine Lösung der zugehör igen homogenen Gleichung addiert. Beispiel: 11x + 7y = 230 ist in G= R X R zu lösen. Wir lösen zunächst die zugehörige homogene Gleichung und suchen eine partikuläre Lösung der inhomogenen. 11x + 7y = 0 11x = -7y X : y = 7 : (-11) X= 7A y = -1H Lh = { (x, y) 1 X = n /\ y = -11 ,l } J. E R Partikuläre Lösung: Dazu wird die Variable mit dem kleineren Koeffizienten explizit dargestellt y =-= -11x + 230 = -x + 32 + --4x + 6 7 7 und eine partikuläre Lösung gesucht. (xo, yo) = (5,25) . Dann ist die allgemeine Lösung: L = { (x, y) 1 x= 5 + 7 Ä /\ y = 25 - 11 Ä} Ä ER Die Lösungsmenge e i n e r Gleichung in 2 Variablen ist in der Grundmenge G = R X R immer unendlich . 3. Diophantische Gleichungen Ist die Gleichung ax + by = c in der Grundmenge G = Z x Z zu lösen , werden also nur ganzzahlige Lösungen verlangt, so nennt man die Gleichung eine diophantische. Sie spielen in der Praxis überall dort eine Rolle, wo es sich um die Bestimmung von Elementzahlen, Stückzahlen und dgl. handelt. Nehmen wir das obige Beispiel 11 x + 7y = 230. Soll diese Gleichung im G = z+ X z+ gelöst werden , so muß das lineare Ungleichungssystem 5 + n > o 25-1H > 0 ganzzahlig er1ü llt sein. Es ist J. > - _§__ und 2 < 25 7 11 Die Werte, für welche sich positive ganzzahlige Lösungen ergeben, sind ,l = 0, 1, 2 L = { (5,25), (12,14), (19,3) } Besonders elegant lassen sich diophantische Gleichungen nach der K o n- g r u e n z m et h o de lösen. Ich möchte diese Methode am obigen Beispiel erläutern. 5