90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

A. Lineare Gleichungssysteme a) Lineare Gleichungen in 2 Variablen 1. Äquivalenzumformungen Eine Gleichung: Eine lineare Gleichung in 2 Variablen hat die Form ax + by = c a, b =I= 0. Wenn c = O ist, nennt man sie homogen, für c =I= 0 i n homogen. Lösen einer solchen Gleichung bedeutet die Ermittlung von Zahlenpaaren (x, y) , welche die gegebene Gleichung in eine wahre Aussage überführen. Die Menge dieser Zahlenpaare heißt die Lösungsmenge der Gleichung. Als Grund- menge tritt die Produktmenge Mx X MY auf, wobei Mx die Menge aller x, MY diejenige aller y ist z. B. G = Q X Q oder G :::;: R X R. 2 Gleichungen in 2 Variablen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungs- menge haben. Äquivalenzumformungen einer Gleichung T, (x, y) = T2 (x, y) .. . (T, und T2 sind dabei Terme der Form ax + by + c .. . a, b, c beliebig) sind: v a ER VßE R v a, ß, y, E R : T, (x, y) : T, (x, y) : T, (x, y) T2 (x, y) <E> T, (x, y) ± a = T2 (x, y) ± a T2 (x, y) < > ß. T, (x, y) = ß. T2 (x, y) T2 (x, y) < > T, (x, y) + ax + ßy + y = T2 (x, y) ax + ßy +y Diese Äquivalenzumformungen benützen wir zum Lösen von linearen Glei- chungen. 2. Lösen einer Gleichung in 2 Variablen a) H o m o g e n e G I e i c h u n g : ax + by = 0 ist in G = R X R zu lösen. (a, b) =I= (0, 0) by = -ax x : y = b : (-a) x = b . ,l .} }. E R Y = -a . ,l Satz : Jede homogene lineare Gleichung ax + by = 0 besitzt in der Grundmenge G ~ R x R die triviale Lösung (0, 0) und außerdem unendlich viele nichttriviale Lösungen. Beispiel : x - 2y = 0 ist in G = R X R zu lösen. X= 2y x:y=2 : 1 X = 2Ä. y = ,l =).} J.ER L = { (X, y) j X = 2). /\ y ß) Inhomogene Gleichung: ax + by = c (c =I= 0) G = R X R In der Grundmenge G hat jede solche Gleichung eine p a r t i k u I ä r e Lö- sung (xo, yo) . Man erhält eine solche, wenn man xo beliebig wählt und das zugehörige yo aus der Gleichung berechnet. Dann läßt sich auch die allge- meine Lösung (alle Lösungen) bestimmen. Es ist 4 ax + by = c axo + byo = c