90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Tableau 4 X V y u w 1 2 -7 z 9 42 15 6 1 4 7 2 3 4 1 3 0 1 3 z 87 17 1 5 1 - - -- - 12_ _ 4 - 6 j Die Lösung der Aufgabe lautet dem- nach: x = 9, y = 15 und z = 6, Z (max) = 87. In derselben Weise kann das Simplexverfahren auch zur Lösung von Optimie- rungsaufgaben für beliebig viele Variable benützt werden. g) Das Minimierungsproblem Zunächst die Definition des d u a I e n P r ob I e ms : Es ist folgende Maximumaufgabe vorgegeben: Die Zielfunktion Z = f (x1, x,, ... , xn) soll ein Maximum werden unter den Nebenbedingungen : att X1 + au x, + + a1n xn ;;;; b, a21 x, + a22 x, + . . . + a2n xn ;S; b, am1X1 + am2X1 + ... + amn xn ;;;; bm Ct Xt + Cl Xl + . , , + Cn Xn = Z(max) Dazu kann man eine zweite Optimierungsaufgabe angeben: System 1 Die Funktion Z' = f (y,, y1, . . . , Yml soll ein Minimum werden unter den Nebenbedingungen ; a11 y, + a21 y1 + + am, Ym ;;;: Ct a12y, + a22 y1 + + am1Ym ;;;: Cl System II a,n y, + a1ny1 + + amnYm ;;;: cn Z' (min) = b, y, + b1 y, + . . . + bm ym Das System II entsteht aus I durch Vertauschung von Zeilen und Spalten. Die beiden Probleme I und II heißen zueinander dual. Wie hier nicht bewiesen werden soll (der Beweis wird wohl in der höheren Schule übergangen werden können), gilt folgender Satz, der gewisser- maßen als H au p t s atz de r I i n e a r e n O p t i m i er u n g gilt: Das Minimum von z· ist gleich dem Maximum von Z. Z' (min) = Z (max) . 28