90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

f) OptimierungsaL1fgabe in 3 Variablen Es soll nun eine Aufgabe in 3 Var iablen durchgerechnet werden . A LI f gab e: Für welche Werte der Variablen nimmt die Zielfunktion Z = 2x + 3y + 42 das Maximum an, wenn folgende Neben- bedingungen gelten: 5x - y + 122 ;;;;; 144 -X + 3y + 6z ;;;;; 72 X + y ;;;;; 24 X + y + 3z ;;;;; 42 X, y, 2 ~ 0 Wir führen die Schlupfvariablen u, v, w, ein und verwandeln die Ungl ei- chungen in Gleichungen. Das entsprechende Gleichungs- Tableau 1 system lautet : X y Q 1 1 LI + X + y = 24 V + 5x - y + 122 144 LI 24 1 1 1 1 0 24 w- X + 3y + 62 72 144 t + X + y + 3z 42 V 144 5 -1 12 5 X, y, 2 ~ 0 Z - 2x - 3y - 4z 0 w 72 -1 3 6 1 42 1 3 42 1 ---------------- 1 z 0 -2 -3 -4 1 1 - - --- - ---------- Wir beginnen den Austausch der Variablen mit x und bilden die Quotienten ::!.., .'!_, Y!__ , _!__. Es sind dabei nur positive Quotienten zu beachten, da u, v, w, X X X X t , x , y, z nicht negativ sind. Der kleinste Wert (24) bestimmt das Pivotele- ment 1. Di e Variab le x wird gegen u getauscht. Durch 2 weitere Austausch - schr itte erfolgt der Tausch von y gegen w und von z gegen t. Die Ergeb- nisse sind in 3 Rechentableaus dargestellt: Tableau 2 Tableau 3 X V w 24 24 96 18 u -5 -1 y -6 14\ 0 2 i Q 0 1 1 12 1 1 6 1 24 1 3 1 C,(J 1 Z 48 2 -1 -4 1 ----------- 1 X V y z 0 168 24 18 72 u w 4 3 2 1 4 0 2 1 Q 1 3 1 -2 1 21 1 8 1 3 1 2 1 131 : 6 9 5 1 T 4 -2 1 ------------ 27