90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Durch diese 5 Randgeraden ist ein konvexes Polygon 12345 bestimmt. Das Innere desselben sowie der Rand stellen die Definitionsmenge der Zielfunk- tion dar. Eine Aufgabe der linearen Optimierung ist nur sinnvoll, v;en n die durch die Nebenbedi ngungen gegebene Definitonsmenge ein konvexes Poly- gon ist. (Vgl. Punkt a) Die Zie lfunktion (Gewinnfun ktion) Z = 40x + 30 y stell t für jeden Z-Wert eine Gerade der x-y-Ebene dar (Schar von Geraden mit Z als Parameter). Die Richtung dieser Parallelenschar ist bestimmt durch d ie Gleichung 4x + 3y = O (Z = 0). Der Anstieg derselben ist k = - ~- 3 Die äußersten noch durch Randpunkte des konvexen Bereiches gehenden Parallel en der Schar (Stütz g e r ade) liefern die Extrema . Die rechte Stützgerade geht durch den Punkt 3 (60, 30): x = 60, y = 30 ergibt das Optimum der Funktion Z (max) = 3300 S. Der Vorteil diese r geometrischen Methode li egt in der großen Anschaulichkeit, der Nachteil da rin , daß sie nicht auf Probl eme mit mehr als 2 Variablen anwendba r ist, und daß bei großen und gebrochenen Zal1len Ungenauigkeiten be im Ablesen der Ergebn isse auftreten können. d) Austauschverfahren Zur rechnerischen Lösung von Optimierungsaufgaben, auch solchen mit mehr als 2 Variablen, benützt man meist die S i m p I ex m et h o d e. Zu deren Verständnis ist das Austauschverfahren, eine Variante des Gauß'schen Eli - minationsverfahrens nötig . Dieses soll kurz dargestellt werden. Es seien 3 lineare Funktionen u = f, (x, y, z), v = fi (x, y, z), w = h (x, y, z) gegeben . Man kann diese immer in impliziter Form schreiben. u + a,x + b,y + c,z A ai ' bi ' Ci E R V + a2x -1- b2y + C2Z = B (1) w + a,x -1- b,y + c,z C A, B, C ER Jedem Tripel (x, y, z) entspricht ein solches (u, v, w) und umgekehrt. Wenn w ir nun x, y, z als Funktionen von u, v, w da rste llen , also die Variablen tau- schen wollen, so können wir dafür lei cht ein Schema finden . Wir wo ll en etwa z gegen v tauschen (nur möglich wenn c2 =I= 0). Dazu brauchen wir z aus der zwe iten Gleichung und setzen in die übrigen Gleichungen ein . B 1 a2 b2 z =-----v---x--- Y C2 C2 C2 C2 u + a,x + b,y + c, . (- 8- - - 1- v - ~ x - ~ y) = A C2 C2 C2 C2 B 1 a2 b2 w + a,x + b,y + c,. (~ - ~v -~x -~Y) = C Nun ordnen wir um: u + a, C2 - a, c, + b, c2 - b2 c, c, X y- -- V c, C2 C2 z + a2 + ~ y + --X -- V c, C2 C2 W + a, C2 - a2 C3 X + b, C2 - b2 C3 y _ ~ V c, c, c, 22 = Ac, - c,B c, B c, Ce, - c,B c, (2)