90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Ein Betrieb stellt zwei verschiedene Produkte B, und B2 her, von denen jedes aus drei Teilen be,steht. Diese Teile werden von drei Automaten A, , A2 und Al angefertigt und zwar nach folgender Zeittabelle: Benötigte Zeit in Minuten pro Stück : B, 4,5 4 1,5 3 4 6 Jeder Automat darf täglich höchstens 6 Stunden benützt werden. Wieviel Stück von B, und Bi muß man täglich herstellen, wenn der Gewinn je Stück 40 Schilling bei B, und 30 Schilling bei 82 beträgt und der Gesamtgewinn ein Maximum werden soll? Die mathematische Formulierung dieser Aufgabe führt auf folgende Unglei- chungen : X ~ 0, y ~ 0 4,5x + 3y ~ 360 4x + 4y ~ 360 1,5x -f 6y ~ 360 Z = 40x + 30y (Maximum) oder gekürzt: x ~ 0, y ~ 0 3x + 2y ~ 240 X + y;;; 90 X + 4y ~ 240 Z = 40x + 30y (Max.) Es kommt darauf an , eine lineare Funktion Z = f (x, y), die Z i e I f u n k- t i o n, zu einem Maximum zu machen, wobei die Definitionsmenge dieser Funktion durch die 5 Ungleichungen gegeben ist. Die Methoden der Differentialrechnung, nach denen sonst Extremwertauf- gaben gelöst werden , versagen hier. Nach den Regeln der Differentialrech- nung ist die notwend ige Bedingung für ein Extrem az az . az az a°x = a"°y = 0. In unserem Fall 1st a°x = 40 =I= 0, a"°y = 30 =I= 0. Dahe r müssen in solchen Fällen andere Verfahren zur Bestimmung des Extrems gesucht werden . Solange es sich um 2 Variable handelt, kann die graphische Darstellung eine Lösung geben . c) Geometrische Methode Wir woll en die in b) gegebene Aufgabe graphisch lösen. In der Figur sind die Randgeraden , die zu den Ungleichungen gehören , gezeichnet. g, : 3x + 2y 240 g,: X + y 90 9 3: X+ 4y 240 g.: X = 0 gs : y = 0 21