90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

2. 2x - 3y :::: 1~ l 4x - 6y -6x + 9y :::: -18 f ( 2 -3 1 1~ )I• (-_=~~ t3) (~-6 1 ~ ) r (A) = r (A ) = 1 4 -6 -6 9 -18 0 0 1 o e Die 3 Bildgeraden fallen zusammen, das System enthält lauter proportionale Gleichungen. Man kann daher eine einz ige auswäh len z. B. 2x - 3y :::: 6. Diese hat d ie unendliche Lösungsmenge : L :::: { (x , y) J x :::: 3 + 3 J. /\ y 2 Ä } J. E R 3. X -J- y 2x + 3y X - y ( 1 2 3 1 -1 6) ~-~- ;! ( 6 ~ /-1 ) 1 . (-2) -► ( 6 4 0 2 -3 0 r (A) = 2, r (Ae) = 3 Da nach der dritten Ze il e der erweiterten Matri x Ae 0 . y = + 1, also keine Lösung hat, ist die Lösungsmenge des Systems leer. L = { }. Als letztes Beisp iel dieses Abschnittes wollen wir noch ei n Gleichungs- system von 4 Gleichungen in 3 Variablen behandeln. Bei s p i e 1 : Es ist zu untersuchen, ob sich die beiden Geraden des RJ sch neiden. Im gegebenen Falle ist der Schnittpunkt derselben zu best immen. g : / X + y + 2z :::: 5 13x - y + z = -4 h : t 5x - 2y + 7z = 9 · 2x + 3y - 4z = -13 Die Aufgabe führt auf die Lösung des Gle ichungssystems: 2~ t 3~ + ~~: -1~1 (1 ~ _j -1~)---> (6 ~ -~ 3x - y + z :::: -4 f 3 -1 1 -4 O -4 -5 5x - 2y + 7z = 9 5 -2 7 9 0 -7 -3 ( 1 2 5) (1 2 5) 0 1 -8 -23 0 1 -8 -23 - --> 00 0 -37 -111 - - - > 0 0 -37 -1101 0 -59 -177 0 0 0 r (A) = r (Ae) = 3. Das System ist eindeutig lösbar. Z :::: 3, y :::: 1, X :::: -2. -2~) -19 -16 Die beiden Geraden schneiden· sich im Punkt S (-2, 1, 3). Zum Schlusse se i noch angeführt - dies kann hier nicht mehr näher aus- geführt werden - daß das al lgemeine Kriterium für die Lösbarkeit eines Systems in 3 Variablen, das sich aus dem Vergleich der Ränge der beiden Matrizen ergibt. auch für Gleichungssysteme mit beliebig vielen Variablen gilt. 18