90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

---> 3. 2x- y + 3z X + 2y - Z -3x - y - 2z Wir bilden aus den beiden Matrizen wiederum die redu- zierten Formen: ( 2 -1 311) ( 1 2 -1 1 2) 1 . (-2) 1 . 3 1 2 -1 2 --- > 2 -1 3 1 - --> -3 -1 -2 0 -3 -1 -2 0 ( 1 2 -1 1 2) ( 1 2 -1 1 2) 0 -5 5 --3 ---> 0 -5 5 \ -3 r (A) = 2, r (A ) = 3 O 5-5 6 O O O 3 e Da sich aus der dritten Zeile ergibt O . z = 3 ist die Lö- sungsmenge leer. L = { } c) ÜBERBESTIMMTE GLEICHUNGSSYSTEME IN 2 UND 3 VARIABLEN Systeme von mehr als 2 Gleichungen in 2 Variablen treten vielfach auf, z. 8 . bei der Untersuchung, ob mehrere Gerade der Ebene durch einen Punkt gehen. Dies entspricht der Lösung des Systems: a,x + b,y = c, l a2x + b2y = c2 a x 1- b y = C f" > 3 n n n ur n = Hinsichtlich der Lösungsmenge solcher Gleichungssysteme sind folgende Fäll e zu unterscheiden. 1. Die Lösungsmenge ist einelementig . Die Bildgeraden gehen durch einen Punkt. 2. Die Lösungsmenge ist unendlich. Sämtl iche Bildgeraden fallen zusammen. 3. Die Lösungsmenge ist leer. Alle Bildgeraden sind zueinander parallel oder haben mehrere Schnittpunkte. Wenn der Fall 1 vorliegt also die Bildgeraden einen Schn ittpunkt haben, dieser aber bereits durch 2 Gerade bestimmt ist, muß der Rang der Koeffi- zientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix sein: r (A) = r (Ae) = 2. Beispiel: 1. ( 2 -3 3 2 -4 6 2x - 3y 3x+2y= -4x + 6y = 2~ l -12 1 1 6) 1.(-3) 22 1.2 --- > 1 -12 ( 6 ~ 1 2~ ) r (A) = r (A ) = 2 0 O O e Wir können die dritte Gleichung (ihre Koeffizienten sind proportional denen der ersten Gleichung) weglassen . Die Lösung der beiden übrigen Gleichungen ist : L = { (6, 2)} 17