90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

4. r (A) = 1, r (Ae) = 2. Wenn der Rang von A 1 ist, kann der Rang von Ae höchstens 2 sein, denn es ist b'2 = c'2 = c "3 = 0. Dann ist aber die Lösungsmenge I e e r. 5. r (A) = 1, r (Ae) = 1. In diesem Falle existiert nur eine Gleichung, die Lösungsmenge ist eine zwei p a r am et r i g e u n end I ich e Menge. Zusammenfassung: Ein Gleichungssystem in 3 Variablen ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Matrix Ae ist. Sind jedoch die Ränge der beiden Matrizen verschieden, so ist die Lösungsmenge die leere Menge. B e i s p i e I e : 1. 2x + 3y + 4z 3 l X - y + 2z = -1 1 3x + 2y + 5z 3 Wir bilden die beiden Matrizen A und A und bestimmen die Ränge derselben . e (2 3 4 1 3) (1 -1 2 1-i) 1(-2)1.(-3) 1 -1 2 -~ ---> ~ ~ 4 - - - > 3 2 5 5 2 - --> 0 5 0 (1 -1 2 ,-1) (1 -1 ~ - --> ~ ~ 0 1 i) r (A) = r (Ae)= 3 16 0 5 -1 1 Das System ist eindeutig lösbar. Die Lösung lautet: Z -1 , y = 1, X = 1 + 2 - 1 = 2 L = { (2, 1, - 1) } 2. 2x - y - z = O 1 2x + 3y + z = o f ( 2-1-1 1 2 3 1 · 0 0 0 0) (2 -1 -1 ---> 0 4 2 0 0 0 0 ~) r (A) = r (A ) = 2 O e Das gegebene System ist lösbar, die Lösungsmenge ist eine einparametrige unendliche Menge. J. Z = 2 J. , y = - J., X = - 2 - L = { ( +• -J., 2 J. ) }