90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Das Gleichungssystem hat also nichttriviale Lösungen . Nach dem Gauß'schen Algorithmus ergeben sich die Lösungen in folgender Weise: 5x + 2y - 3z = O } + 27y - 18z = 0 - 12y + 82 = 0 5x + 2y - 3z 3y - 2z Oz ====>z = 3 J,, y = 2)., X= 1.. L = { (x, y, z) 1 x = ). /\ y = 2 J, . /\ z = 3).} J. E R 5. Rang der Matrix und Lösbarkeit Die zum gegebenen Gleichungssystem gehörigen Matrizen sind: ~: ) Koeffizienten- CJ matnx ( a, b, c, d, ) Erweiterte Ae = a, b2 c, d2 Matrix 83 bJ CJ dJ Eine Matrix hat den Rang r, wenn sich aus ihr mindestens eine r-reihige Determinante =I= o bilden läßt, während alle (r + 1)-reihigen Determinanten den Wert 0 haben. Der Rang von A unc:' Ae kann 1, 2 oder 3 sein. Zur Bestimmung des Ranges einer Matrix führen wir diese in die reduzierte Form über. In dieser sind alle Elemente lin ks von der Hauptdiagonal e 0. Wir erreichen dies durch Umformungen wie Multiplikation einer Ze ile mit einem Zahlenfaktor und Addition zweier Zeilen, also durch Umformungen wie sie beim Gauß'schen Verfahren angewendet werden. Dadurch geht die Matrix A über in A* und Ae in A~ . ( a, A ----> A* = ~ c,) ( a, c2' Ae ----> A~ = 0 CJ " 0 b, c, d , ) bz' cz' dz' 0 C3" d J" Der Rang der Matrix entspricht der Anzahl der Elemente der Hauptdiagonale, die von 0 verschieden sind . Beispiel: ( 2 ~ 1 -2 6 - 3 ) 1 . 2 1 . (-6) ( 2 1 -3) -1~ ====> ~ ~ ~ ====> r Dabei wurde die erste Ze il e zunächst mit 2, dann mit -6 mul - tiplizi ert und zur zweiten bzw. dritten Zeile addiert. Durch Vergleich der Ränge von A und Ae lassen sich nun die verschiedenen Fälle der Lösbarkeit eines Gleichungssystems leicht diskutieren : 1. r (A) = r (Ae) = 3. In diesem Fall ist die Koeffizientendeterminante des Systems D =I= 0, das System ist daher nach Punkt 3 dieses Abschnittes e i n d e u t i g lösbar. 2. r (A) = 2, r (Ae) = 3. Es ist dann in den reduzierten Matrizen A* und A'e c "3 = 0, aber d " J =I= 0, also o . z = d "J unerfüllbar, die Lösungsmenge ist I e e r. 3. r (A) = 2, r (Ae) = 2. Es ist c "3 = d "J = 0, es sind 2 Gleichungen in 3 Variablen vorhanden , die Lösungsmenge ist eine e i n p a r a m et r i g e u n e n d I i c h e Menge. 15