90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Sätze über dreireihige Determinanten Es we rden hier bloß die wichtigsten Sätze über dreireihige Determinanten ohne Beweis angeführt. Sie entsprechen den Sätzen über zweire ihige Deter- minanten, die Beweise können durch Ausrechnung der beiden Seiten leicht geführt werden . 1. Der Wert einer Determin ante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht (Spiegelungssatz) . 2, Eine Determinante ändert das Vorzeichen , wenn man 2 Zeilen oder 2 Spalten vertauscht. 3 . Eine Determinante mit 2 gleichen Reih en hat den Wert 0. 4. Eine Determinante in der die Elemente einer Zeile (Spalte) mit der glei - chen Zahl k multipliziert werden , erhält den k-fachen Wert. 5. Eine Determinante, in der die El emente einer Reihe proport ional den Ele- menten einer anderen Reihe sind , hat den Wert 0. 3. Cramer'sche Regel Nach Entwicklung des Begriffes der dreireihigen Determinanten lassen sich die Lösungen eines Gleichungssystems von 3 Gleichungen in 3 Variablen in einfacher Weise schreiben: 1 d, b, c, 1 1 a• d, c, 1 1 a, b, d, 1 d2 b2 C2 a2 d2 c' a2 b2 , d, b, Cl D, a, dl Cl D, al bJ dl Dl X , Y ' z 1 a, b, c, 1 D 1 a, b, c, 1 D 1 a, b, c, 1 D a2 b2 C2 a2 b2 C2 a, b2 C2 al bl Cl al bl Cl aJ bJ Cl Die Lösung smenge ist L = {~ ~ ~} . D ' D ' D Das System ist dann eindeut ig lösbar, wenn die Koeffizientendeterminante D =!= 0 ist. 4. Homogene Gleichungen Wenn die rechten Seiten der Gl eichungen O sind, sprechen wir von einem homogenen Gleichungssystem. a,x + b,y + c,z - o } a,x + b,y + c,z :; 0 alx + bly + ClZ = 0 Di eses System besitzt immer die Lösung (x, y, z) = (0, 0, 0) , die trivia le Lösung. Außer dieser hat das System genau dann nichttriviale Lösungen , wenn D = 0. D, , D, und D, sind auf jeden Fall 0. Beispiel : 5x + 2y - 3z = 0 1 X - 5y + 3z = 0 f -3x + 3y - z = O D 1 5 2 -31 1 -5 3 -3 3 -1 1 -5 31 12-31 1 2-31 5 3 -1 - 3 -1 - 3· -5 3 14 0