90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Beispiel: 3x + y + 2z = -3 \ 1 · (-2) 2x + 3y - z = -2 f . (3) 3x + y + 2z = -3 7y - 7z = O Oz = 0 ====> L = { (x, y, z) 1 x = -1 -.1. /\ y = .1. /\ z = .1.} Die Lösungsmenge ist also eine einparametrige unendliche Menge. Liegt nur e i n e Gleichung in 3 Variablen vor, ergibt der Gauß'sche Algorithmus eine zwe iparametrige unendliche Lösungsmenge. a,x + b,y + c,z = d, ) O.y + O. z = 0 f ====> z = J. , Y O.z = 0 Beispiel: f l, X 2x + 3y - z s ll Oy + oz o Oz 0 5 z = 22, y = 2,u, X= 2 + 2 -3µ L = { (x, y, z) 1 x = 5 - + .1. - 3ft /\ y 2 2. Dreireihige Determinanten 2µ /\ z = 22} Wir gehen wieder aus von einem Gleichungssystem von 3 Gleichungen in 3 Variablen : a,x + b,y + c,z = d, ) a2x + b2y + c2z = d2 j' aax + bJy + CJZ = dJ Wird die erste Gleichung mit a2, die zweite mit a, multipliziert und werden beide Gleichungen subtrahiert, ferner die erste mit aJ, die dritte mit a, multi- pliziert und beide subtrahiert, so ergeben sich 2 Gleichungen in den 2 Va- riablen y und z (a,b2 - a2b,) y + (a,c2 - a2c,) z = a,d2 - a2d, (a,bJ - aJb1) y + (a,cJ - a3c1) z = a1dJ - aad, Nach der Cramer'schen Regel vom vorhergehenden Abschni tt ergeben sich für y und z die Ausdrücke: l a,d2 - a2d1 a,c2 - a2c,1 1a,b2 - a2b1 a1d2 - a2d1 y = a1dJ - aJd1 a1CJ - aac, = E2._. 2 _ a,bJ - aJb1 a,dJ - aJd1 = ~ l a,b2 - a2b1 a,c2 - a2c,1 D ' -1a,b2 - a,b, a,c2 - a2c,1 D a,bJ - aJb1 a,cJ - aJc, a,bJ - aab, a,cJ - aac, Wir betrachten nun die Nennerdeterminante D : D ,a,b2 - a,b, a,c, - a2c,, a,bJ - aJb1 a,CJ - aJc, D (a,b, - a2b,) . (a,cJ - aJc,) - (a,bJ - aab,) . (a,c2 - a,c,) = a, 2b2CJ - a,a2b1CJ - a,aab2c, + aiaJb1C2 - a, 2bJC2 + a1aJb1C2 + + a,a2bJC1 - a2aJb1c, a, . (a,b2C3 + aJb1C2 + aibJC1 - a1bJC2 - a2b1CJ - aJb2c,) Die Klammer enthält alle möglichen Produkte ai bk c 1 wobei 1, k, 1 = 1, 2, 3 De f i n i t i o n : Man nennt die in der Klammer stehende algebraische Sum- me eine dreireihige Determinante und schreibt sie in der Form: D = 1:: ~: ~: 1 1 sgn (ikl) ai bk c 1 aJ bJ CJ ikl = 1 Dabei bedeutet (i, 1<, 1) e ine der möglichen Anordnungen (Permutationen) der 3 Elemente 1, 2, 3. Es gibt 6 so lche Anordnungen: 123 213 312 132 231 321. 12