90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Wir gehen a,x + b,y a,x + b,y a3X + b3y c) SYSTEME VON GLEICHUNGEN IN 3 VARIABLEN hier von + c,z + c,z = + C3Z = einem System von 3 Gleichungen in 3 Variablen aus : d, l d, J (1) wobei (a. , d3 1 Unte r e iner Lösung versteht man ein Tripel (xo, yo, zo), welches all e 3 Glei- chungen erfü ll t. Das Aufsuchen der Lösungen geschieht durch Äquivalenz- umformungen: Vertauschen von Gleichungen, Multiplizieren einer Gleichung mit einem von O verschiedenen Faktor, Division durch eine von O verschiedene Zahl , Addition eines Vielfachen der einen Gleichung zu einem Vielfachen einer anderen Gleichung. 1. Gauß'scher Algorithmus Durch derartige Umformungen wird ein zu I äquivalentes System hergestellt , in dem jede folgende Gleichung weniger Variable, die letzte schließlich nur eine einzige Var ia ble enthält. Es entsteht auf diese Weise das reduzierte System II: a,x + b,y + c,z = d, } b2'y + c,'z = d2' (II) c3 " z= d3" Dieses System wird schrittweise nach z, y und x aufge löst. Bei spie 1: x + y - Sz = -10 l 1- (-3) 1- (-6) 3x - 4y + z = 9 f 6x + 2y + 4z = 12 Daraus ergeben sich durch Multiplikation und Addition der entsprechenden Gleichungen die Systeme: X + y - Sz = -10 } - 7y + 16z = 39 \ · (-4) - 4y + 34z = 72 . (7) X + y - Sz - 7y + 16z 1742 Daraus folgt: z = 2, y = -1 , x = 1 L = { (1, -1 , 2)} -10} 39 348 Dieser Gauß 'sche Algorithmus erg ibt auch eine Lösungsmenge, wenn 2 Glei- chungen in 3 Variablen bzw. nur eine Gleichung in 3 Variablen gegebe11 ~ind. a,x + b,y + c,z = d, } a,x + b,y + c,z = d, 0.x + 0.y + 0.z = 0 Man hat zu den 2 Gleichungen in 3 Variablen noch eine dritte hinzugefügt , deren Koeffizienten alle O sind . Wendet man auf dieses System das Gauß'sche Verfahren an , so erhält man das System: a,x + b,y + c,z = d, l b, 'y + c, 'z = d2' J 0.z = 0 Die dritte Gleichung ist durch jede reelle Zahl z = l erfüllt, die übrigen Variablen folgen dann aus den beiden anderen Gleichungen . 11