90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Beispiele: 1. X + Y = 4 } j • (-2) 2x-y=5 3. Die erste Gleichung bleibt unverändert, dann wird die erste mit (-2) multipliziert und zu r zweiten add iert. So ergibt sich das äquivalente System x+y= 4} - 3y = -3 mit der Lösung L = { (3, 1)} Man kann die entsprechenden Umformungen auch mit den Matrizen durchführen , wobei der Rang erhalten bleibt. Ae = ( 1 1\4) Reduzierte Matri x (1 1 1 4) 2 -1 5 0 -3 1 -3 Die Ränge von A und Ae sind sofort abzulesen : r (A) = r (A ) = 2 (Anzahl der Elemente der Haupt- diagonale) e 2. 2x + 3y = 5 } ( 2 3 1 5 ) . (-2) ( 2 0 3 1 0 5 ) 4x + 6y = 10 4 6 10 --+ 0 r (A) = r (Ae) = 1, die Gleichungen sind proportional , die Lösungsmenge ist L = { (x, y) 1 x = 5 - 2 3 ?. /\ y = J.} 2x - y = -3} ( 2 -6x + 3y = 12 -6 -11-3) .3 (2 3 12 --+ 0 -1 1-3 ) ·o 3 r (A) = 1, r (Ae) = 2 L = {} 7. Praktische Lösungsmethoden Zum Schlusse dieses Abschnittes soll noch hingewiesen werden auf die aus der Unterstufe bekannten , daher hier nicht mehr näher behandelten deter- minantenfreien Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme von 2 Glei- chungen in 2 Vari ab len : 1. Komparationsmethode 2. Substitutionsmethode 3. Graphische Methode Einige Bemerkungen zur graphischen Lösung: Die Erfüllungsmenge einer Gleichung der Form ax + by = c ist eine Gerade der x-y-Ebene, der Graph der Gleichung. Die Lösung eines Systems zweier Gleichungen in 2 Variablen kommt auf die Untersuchung der Bildgeraden der beiden Gleichungen hinaus. Es gibt 3 Mög- lichkeiten der gegenseitigen Lage zweier Geraden der Ebene und damit 3 Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems: 1. g, und 92 schneiden sich . Die Koordinaten des Schnittpunktes ergeben die eindeutige Lösung des Systems. 2. 91 = 92. Die Lösungsmenge ist unendlich , da nur eine Gleichung vorliegt. 3. g, II 92. Die Lösungsmenge ist leer, da kein Schnittpunkt vorhanden ist. 10