90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

5. Homogene Gleichungen a,x + b,y = O Dieses System hat immer die Lösung (0, 0) . a,x + b2y = O Diese heißt die tri via I e Lösung. Außer dieser besitzt das System dann nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante D = 0. D, und D2 sind auf jeden Fall 0, da alle Elemente einer Spalte O sind. Die Lösungsmenge ist unendlich. B e i s p i e 1: 2x - 3y = 0 4x - 6y = 0 D = D, = D2 = 0. Es liegt nur eine Gleichung vor : 2x - 3y = 0 L = { (x, y) [ x = 3 J. /\ y = 2 J. } J. E R Wir wollen die Kriterien für die Lösbarkeit und die Zahl der Lösungen noch in einer anderen Form schreiben, die sich auch auf Gleichungen von mehr als 2 Variablen verallgemeinern läßt. 6. Rang der Matrix und Lösbarkeit Zum Gleichungssystem a,x + b,y c, a,x + b2y = c2 gehören die Mat r izen A = ( a, b, ) , Ae = ( a, b, c, ) a2 b2 a2 b2 c2 De f i n i t i o n : Eine Matrix hat den Rang r, wenn sich aus ihr mindestens eine r-reihige Determinante bilden läßt, die ungleich O ist, während alle r+ 1-reihigen Determinanten den Wert O haben . Der Rang von A bzw. Ae kann 1 oder 2 sein . Die in Punkt 2 dieses Abschnittes formulierten Kriterien für die Lösbarkeit des Systems lassen sich in folgender Weise angeben: 1 Rang von A Rang von Ae 1 Lösungsmenge 1. 2 2 L = (xo, yo) eindeutig lösbar 2. 1 1 unendlich viele Lösungen 1 3. 1 2 Lösungsmenge leer Im ersten Fall ist die Koeffizientendeterminante =!= 0, daher ist das System eindeutig lösbar, im zweiten Fall ist die Koeffizientendeterminante = 0, eben- so D, = 02 = 0, es liegt nur eine Gleichung vor, die unendl ich viele Lösungen hat, im dritten schl ießlich ist D = 0, aber D, und D2 =!= O, die Lösungs- menge leer. Zusammentassend ergibt sich für die Lösungen eines Systems von 2 Gl ei- chungen in 2 Variablen : Sind die Ränge der Koeffizientenmatri x und der erweiterten Matri x gleich, so ist das System lösbar (eindeutig oder unendlich viele Lösun- gen), sind die Ränge der beiden Matrizen verschieden so ist die Lösungsmenge leer. ' 9