90. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1972/73

Im Nenner der Lösungen steht jeweils die Koeffizientendete rminante, im Zähler von x jene zweire ihige Determinante, die man erhält, wenn man die erste Spalte von D durch die rechte Seite der Gleichungen ersetzt, den Zähl er von y bekommt man, indem man die zweite Spalte durch die rechten Seiten ersetzt. Wir können nun auch die Kriterien für die Lösbarkeit und die Zahl der Lösungen formulieren. 1. Ein System von 2 Gleichungen in 2 Variablen ist genau dann e i n- d e u t i g lösbar, wenn die Koeffi zientendeterminante D =!= 0 und D,, D2 beliebig ist. 2. Ist jedoch D = 0, D, = 0 und D2 = 0, so folgt auf Grund des Determinantensatzes 5: a2 = k . a,, b2 = k. b, und c, = k. c,, d. h. es liegt nur eine Gleichung vor, deren Lösungsmenge eine einfach unendliche Mannigfaltigkei t von Zahlenpaaren ist. Die Lö- sungsmenge ist eine einparametrige unendl iche Menge. 3. Ist D = 0 und D, =!= 0 und D2 =!= 0, so ist die Lösungsmenge leer. Zu jedem dieser drei Fälle ein Beispiel : ad 1) x + y = 4 ad 2) ad 3) D = 8 2x-y=5 D = 1 ~ - ~ 1 = -3, D, = 14 11 -9, D2 = 1~ 5 -1 = X = Q!_ = _g = 3 D -3 D2 -3 y = o -3 = D 1-~ L = { (3, 1) } 2x + 3y = 5 4x + 6y = 10 1~ ~l = O; D,= 11~ ~ l =O; D,= 1~ 1~ l= 0 Es bleibt also nur die eine Gleichung 2x + 3y = 5. Die zugehörige homogene Gleichung hat die Lösung : 2X + 3y = 0 X = -3 ). y = 2 ). Die inhomogene Gleichung 2x + 3 y = 5 ergibt _ 5 - 3y _ 2 + 1 - y X - 2 - -y -2- Eine partikuläre Lösung dieser Gleichung ist xo = -2 yo = 3, also ist die Lösungsmenge der inhomogenen Gl ei chung L = { (x, y) 1 x = -2 - 3 ). /\ y = 3 + 2 }. }, J. ER 2x - y = -3 -6x + 3y = 12 -1 1 D, 1-3 -~1 3 - D2 1-~ -3 1 3 = 0; 12 12 X 3 0 y 6 0 L = {} = 6