71. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1953/54

PROF. JOSEF LV l<A MAqlSCHE QVADRATE § 1 Die Stellung der Frage Unt e r e in em „ma gisch en Quadrat" versteht man für gewöhnlich ein Qua- dr at, in dessen Felder di e natürlich en Zahl en 1, 2, 3 . .. n" 2 so hin eingesch ri ehen s ind , daß sich in jeder Richtung - horizontal, vertikal nnd diagonal - die gle ich e Summe ergiht. A lbr echt Dürer ze igt un s auf e iu em sein e r b erühmtesten ,.Me lancholi e", ein so lch es Quadrat. Seine 16 Felder si nd mit 16 so besetz t, daß s ich in j eder Richtung di e Summe 34 e r gibt. (Auß erdem ze igen di e un - tersten Mittelfe lder di e Jahr esza hl 1514 d e r 16 Entstehung des Kupferstiches - was natürlich fiir da s mathemat isch e Probl em be langlos ist.) 5 Ein and eres ma gisd1es Quadrat, da s man oft auch in den Rät.se lecken von Zeitungen find e t, kann man le id1t durdi Probieren e r- halten; es is t da s „Dre ie r-Quadrat", da s in jeder Riclitun g die Summe 15 zeigt. Die Frage i st mm: K ann man b eli ebig große magisdrn Quadrate aufstellen? Gibt e.s e in e a ll gemeine Met hode für j ede Seitenzahl ll. ? Für n = 2 gibt es offensiclitlich k e ine Lösung; denn di e Zahlen 1, 2, 3, 4, la ssen sid1 eben nid1t so in e in quadrati sdies Scli ema schre iben, daß in j ed e r Rid1 tung die gle id,e Summe steht. Für jedes n größer al s 2 gibt es aber e ine Lösung. § 2 Die allgemeine Lösung 9 4 2 7 6 Kupfers tid1e, der den Zahl en 1 bis 3 10 6 15 9 5 1 2 11 7 14 4 3 8 13 8 12 1 Die Zahl en Z = 1, 2, 3 ... n 2 bilden eine arithmetisclie Ze il e oder Spa lte od e r Diagonal e des magischen Quadrates kon s tante magi scli e Summe R e ih e. In jede r muß daher di e 1 • nt S= --2--.n (1) ode r (1) ste hen. (M bed eutet dabe i die mittl ere Zahl d er Reihe 1, 2, 3 ... n 2 . ) Da m jeder Ze il e - und audi Spalte - n Zahlen stehen, zerlegen wir di e Z'ahlenreihe 1, 2 ... n~ in n n-tupel: 1, 2, . n n + 1, n + 2, 2n 2n + 1, . ~n (2) (n - l )n + 1 n.u 3