71. Jahresbericht des Bundes-Realgymnasiums Steyr 1953/54

Dieses Verfahren ist wohl das einfachste und schnellste - liefert jedoch ebenfalls nur einen s p e z i e 11 e n T y p des Quadrates. Es stammt nicht von mir, sondern ist von Herrn Franz Lauffe r im „Uni- versum", Jahrgang 1950, Seite 602, beschrieben. Mein in § 4 , entwicke lt es Ve rfahren ist wohl e twas langwie riger , dafiir aber allgemeiner und liefert a 11 e möglich en Quadrate. - Für die nur ·geraden Quadrate, in sbesondere für das 6e r-Quadrat , kenn e ich aus der Literatur selb er kein besonderes Verfahren. Ich se lbe r habe e in e besondere Me thode für das 6er-Quadrat entwickelt, die mir abe r nid1t von Be- deutung ersd1eint. § 9 Verallgemeinerung des Problems Die Zahlen 1, 2 n2, die wir in ein magisd1es Quadrat sd1reiben , bild en eine arithmetisd1e Re ihe. Fa sse n wir s ie b I o ß a I s GI i e der in d i c es 11 in e r beliebig en a r i t h m e t i sehen Reih e auf, d eren n 2 -Gli eder w ir in das magische Quadrat schre iben, so haben wir die a ll gemeinste Fass11ug do3 Problems . die Nad1 bekannten Formeln ist da s allgeme ine Glied a1 + (n - 1) . d, und also hi er a1 + (n 2 - 1) . d ... (11) le tzte Zahl der Reihe. Die „magisdte S = erstes +- letztes Glied 2 Summe" S ergibt s id1 gemäß (1) . Il und zusammen mit voriger Ze ile 2 S = [2a1 + (n 2 - l)d]. u ... (12) Bei vorgegebenem n , da s ja s te ts e in e ganze Zahl is t, haben wir nod1 eine Funktion der drei Variablen a, d, S. Ist nodi ein e von diesen, insbesond er e S, bekannt, so erhalten wir für a und d eine diophantisd1e Gleidwng, die natürlid1 nur unte r gewissen Umständen ganzzahlige Lösungen hat: 2a1 + (n 2 - l)d = 2 S ... (13) D Lassen wir die Besdiränknng auf ganze Zahlen fallen, so erha lten wir für jedes gewählte n und S u n end I i dt viele Reihen, bei denen wenigstens ein " der beiden Größen a, d ganz se in kann. 22 Zum Beispiel: 7er-Quadrat für 2 . 1953 2a + 48d 7 a + 24d 279 Lösungen: S = 1953 d 1, a 255 d 2, a 231 d 12, a - 9 u. s. w.