Beitrag zur graphischen Bestimmung der Normale. Von G. Hiebel. Die Aufgabe, von einem Punkte außerhalb einer gegebenen Curve auf diese eine Normale zu errichten, begegnet bekanntlich schon in der ebenen Geometrie einer Reihe von Schwierigkeiten und ist bei ganz allgemeinen Bedingungen einer directen Lösung nicht fähig. Man wendet daher, um wenigstens in graphischer Hinsicht den verlangten Fußpunkt möglichst genau zu fixieren, Constructionen an, welche im wesentlichen auf folgendem Principe beruhen. „Fällt man von dem gegebenen Punkte auf die aufeinanderfolgenden Tangenten einer Curve der Reihe nach die Normalen und bestimmt deren Fußpunkte, so ergibt sich als geometrischer Ort derselben eine zweite Curve, welche die Eigenschaft hat, die gegebene Linie im verlangten Fußpunkte zu berühren.“ Diese Hilfscurve kann auch durch einfache Hilfsmittel durch andere aus ihr abgeleitete Linien (fehlerzeigende Curven) ersetzt werden, welche die gegebene Curve, statt zu berühren, im gesuchten Fußpunkte schneiden muss. Von diesen bekannten Constructionen ausgehend, soll im folgenden versucht werden, dem Problem der Normale auf räumliche Curven und Flächen in graphischer Hinsicht etwas näher zu treten. Ersetzt man in der obigen Erklärung die Worte: „Curve und Tangente durch: „Fläche und Tangentialebene“, so ist der Übergang vom ebenen System zu räumlichen Gebilden geschaffen und damit auch der Weg angedeutet, auf welchem die gestellte Aufgabe ihrer Lösung zugeführt werden soll. Analog der fehlerzeigenden Curve, welche durch die stetige Aufeinanderfolge der Fußpunkte der Senkrechten entsteht, ergibt sich für eine Fläche und einen außerhalb derselben gelegenen Punkt als geometrischer Ort der Fußpunkte eine zweite Fläche, welche die erstere in dem zu suchenden Fußpunkte berührt. (Diese Fläche wird in den diesbezüglichen theoretischen Abhandlungen unter dem Namen „Fußpunktfläche behandelt.) In praktischer Hinsicht ergeben jedoch die theoretischen Untersuchungen wenig verwendbare Anhaltspunkte, was sofort die Erwägung ergibt, dass in graphischer Hinsicht bei Flächen allgemeiner Art die Aufsuchung einer einzelnen Tangential-Ebene schon mühsame Constructionen erfordert, diese aber sehr oft wiederholt werden müssten, bevor mit einiger Sicherheit auf die Lage des Fußpunktes geschlossen werden könnte. Nur bei Flächen, denen ein einfaches Bildungsgesetz zugrunde liegt, wie bei Kegelund Cylinderflächen, für welche die erwähnte Fußpunktflä he in eine Curve übergeht, gibt die besprochene Methode auch die Möglichkeit der graphischen Durchführung.
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