14. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1986/87

und den beiden zur y-Achse parallelen Geraden durch den Hochpunkt bzw. den Ti efpunkt begrenzt wird. 3. Die Ebene E.. ist durch den Punkt A (2/0/0) und die Gerade g t'. = (!) + s (!) bestimmt. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden h -<e = (Ü + t (-l) ist der Mittel- punkt einer Kugel. E 2 ist Tangentialebene dieser Kugel. E, 2 : 2x + 2y - z = 11 a) Bestimmen Sie die Gleichung der Kugel. b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkrei- ses dieser Kugel mit E 3 : 3x+y+3z= - 5. c) Wie verhalten sich die Rauminhal - te der Kugel, des Zylinders, den man der Kugel umschreiben kann , und des Kegels, dessen Spitze im Kugelmittelpunkt liegt und dessen Grundfläche der Schnittkreis ist? d) Die Kugel K 1 wird von einer Kugel Ki [x- (i)] 2 = 64 geschnitten. Berechnen Sie Radius und Mittel- punkt des Schnittkreises! 4. a) In welcher Höhe muß sich eine senkrecht über der Mitte eines kreisrunden Ti sches (r) hängen- de Lampe befinden, damit ein l-1l Flächenelement am Rand des Ti sches ein Maximum an Beleuchtungsstärke aufweist? E = L.coso( d2 b) In welcher Entfernung vom Punkt A einer Strecke AB, an deren Enden sich zwei Lichtquellen mit verschiedenen Lichtstärken be- finden, ist die Summe der Be- leuchtungsstärken beider Licht- quellen ein Minimum? L L E = _ 12 + _ 22 a, a2 L = Lichtstärke E = Beleuchtungsstärke d = Entfernung des beleuchte- ten Flächenelements von der Lichtquel le MATHEMATIK (REALISTISCH) (Mag. Günther Spruzina) 1. Die Funktionen f und g sind gegeben durch f(t) = e 8 . e-t I f,R und g(t) = e 4 . e 1 t eR Sie beschreiben näherungsweise die Anzahl en der Bakterien zweier Kulturen Br und B 9 . Dabei gibt t die Zeit in Stunden nach Beginn der Beobachtungen an. a) Zeichne das Schaubild von f im Bereich o;:;:;t;:;:;4 (1 Std b 2 cm ; 1000 B b 2 cm). Nach wieviel Stunden sind in B ebenso viele Bakterien vorhanifen wie in Br zu Beginn der Beobachtung? Zu welchem Zeitpunkt t 1 enthalten beide Kulturen gleich viele Bak- terien? Zeige, daß für allea ;:;:;2 beide Kul- turen zusammen zum Zeitpunkt t 1 + a ebensoviele Bakteri en ent- halten wie zum Zeitpunkt 1 1 - a. b) Für 1;:;:;4 soll die Anzahl der Bakte- rien der Kultur Br durch eine linea- re Funktion h beschrieben wer- den , wobei die Geschwindigkeit h'(t) des Absterbens der Bakterien 1'( 4 ) übereinstimmt und h( 4 ) = _!{ 4 ). Bestimme h(t). Zu welchem Zeit punkt t 2 ist die Kultur Br demnach ausgestorben? c) Um einen Mittelwert m für die Bak- terienanzahl aus Br über dem Zeit- interval l o;:;:;1 ;:;:; 1 2 zu bestimmen, errechnet man zunächst den In- halt des zwischen der !-Achse und dem Schaubi ld von f für o;:;:;1;:;:;4 und dem Schaubild von h für 4;:;:;1;:;:;t 2 gelegenen Flächen- stücks. Dieses Flächenstück wird durch ein inhaltsgleiches Rechteck er- setzt , dessen eine Seite der Ab- schnitt o;:;:;1;:;:;1 2 der t-Achse ist. Berechne den gesuchten Mittel- wert m als Höhe dieses Recht- ecks. 2. Eine gewöhnliche Zykloide ist in Parameterdarstellung durch die Gleichungen x=r ('f - sint'.,) , y=r (1 - cos°'(.) gegeben. a) Beweise, daß der Krümmungs- mittelfunkt in jedem Punkt den Wert 4r sin i' 1 hat. b} Bestimme die Gleichung der Evo- lute der Zykloide. ----------------------101 ----------------------