■ 3. Gegeben sei die Funktion y = e- 2x + x (x € R). a) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, die relativen Extremwerte, Wendepunkte und Asymptoten. Zeichnen Sie den Graphen für 0 ~ x ~ 5. (Einheit = 2 cm). b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Schaubild seiner Asymptote, der y-Achse und der Geraden mit der Gleichung x = t begrenzt wird. Gegen welchen Grenzwert strebt der Flächeninhalt für t gegen oo? c) Die Gerade mit der Gleichung x = u (u > 0) schneidet den Graphen in P und seine Asymptote in Q. Bestimmen Sie u so, daß der Flächeninhalt des Dreiecks OOP möglichst groß wird. Welchen Flächeninhalt hat das größte Dreieck? 4. Ein Wald hatte 1976 einen Bestand von 48.000 m3. Im l aufe von 15 Jahren wurde kein Holz gefällt, so daß sich der Bestand von 1961 um 60 % vermehren konnte. a) Stellen Sie für diesen Waldbestand das Wachstumsgesetz auf, wenn exponentielles Wachstum vorausgesetzt wird. b) WiegroßwarderWaldbestand 1966, und wie groß würde er 1990 sein? c) Heute 1986 beträgt der Waldbestand 65.657 m3. Man hat vor, in 3 Jahren 20.000 m3Holz zu schlägern. Wann wird der Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen? d) Wann wird sich der Waldbestand von 1961 verdoppelt haben? Reali stisch (Mag. Manfred Hofer) 1. Ein landwirtschaftlicher Betrieb bezieht zwei Sorten von Volldünger. Aus diesen beiden Sorten soll eine Mischung hergestellt werden. Die notwendigen Angaben sind in der folgenden Tabelle enthalten: 1. Sorte 2. Sorte Mindestgehalt (Prozentgehalte) der Mischung Kalium 10% 20% 10 kg Stickstott 30% 10% 12 kg Phosphor 10% 10% 8 kg Preis je kg 12 S 16 S Min. Wieviel kg sind von jeder Sorte notwendig, damit der Mindestbedarf gedeckt wird und die Gesamtkosten für die Mischung möglichst gering sind? Kontrolle durch graphische Darstellung (10 kg ~ 1 cm)! 2. Aus dem Intervall [0,4] werden zufällig, unabhängig voneinander, zwei Zahlen x, y gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß y ~ 4x. e- x + 1 gilt? Untersuche weiters die Funktion y = 4x.e-x+ 1 in bezug auf Definitionsmenge, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte mit Wendetangente, Monotonie- und Krümmungsverhalten und Verhalten im Unendlichen. Zeichne den Graph der Funktion im Intervall [0,5] (LE = 2 cm). 3. Die Ellipse x2 + 4y2 = 4 schneidet die Hyperbel J. x2 - 2y2 = 4 in den Punkten S 1 , S2, S 3 , S4 a) Wi e muß J. gewählt werden, daß das Rechteck S1 S2 S3 S4 einen möglichst großen Flächeninhalt erhält? b) Für welchen Wert von J. schneiden einander die Kurven rechtwinkelig? Zeige, daß in diesem Fall die Kurven konfokal sind. 4. Die Geraden: g 1 : "l = (4, 1,0) + J. (-2,-4,2) und g2: -'l = (-2,0,3) + µ (6,1,-3) schneiden einander in B und liegen in der Ebene der parallelogrammförmigen Grundfläche ABCD eines geraden Prismas. Auf der Geraden g 2 liegt die Diagonale BD, mit BD = y46. E(7/0/13) 96 - ------------ ------
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