12. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1984/85

2. Im Raum sind dieGeradeg , die Ebene Eund die Kugel K gegeben durch g-; = ( = ~} + t ( ~) E 4x- 3y+12z+60 = 0 _ (4) 2 K lx - ~ 1 = 169 a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S von g und E. Weisen Sie nach , daß S außerhalb der Kugel K liegt und daß Eeine Tangentialebene von K ist Berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes B! b) Die Ebene E1 geht durch den Mittelpunkt M von Kund ist orthogonal zu g. Stellen Sie die Gleichung von E1 auf und bestimmen Sie den Schnittwinkel von E und E1. Berech- nen Sie den Abstand des Punktes M von g . Was folgt dar- aus für die gegenseitige Lage von g und K? 3. Die Papie rformate der DIN -A-Skala haben ein Seitenver- hältnis von y2 • 1. Das Format A0 hat eine Fläche von 1 Quadratmeter ; die Formate A1, A2 entstehen daraus durch ei nmaliges, zweimaliges Halbi eren. a) Geben Sie die Seiten längen und Flächen der Formate A0 bis AB an1 b) Wie groß ist die Summe der Flächeninhalte der Rech tecke A1 bis A100? c) Zeigen Sie, daß die Summe der Flächen inhalte der Recht- ecke A1 bisA 00 gleich dem Flächeninhalt des Rechteckes A0 ist l d) Wieviele Rechtecke sind nöt ig , damit die Summe ihrer Flächeninhalte sich vom Flächeninhalt von A0 um wen iger als 10~ 9 unterscheidet? 4. Es sind die Maße eines el li psenförmigen Autotunnels zu berechnen , der ei ne Fah rbahn von 8 m Breite bei ei ner lichten Höhe von 4m aufnehmen soll . Bei der Konstruktion ist darauf zu achten, daß der ungenü tzte Tunnelquer- schnitt möglichst klein wird. Berechnen Sie die Durchmesser der Ellipse und den Ver- lustquerschnitt in % 1 L ösungen. 1. V = ~ rcm 3 = 11.781 1; H = 0,542m 2. a) S (4/- 4/J/- 20 /3); B (0/4/-4) b) E1 • 3x+4y +2z- 32 = 0; -<c'. = 69,95° 3. a) ao = 11 89 mm; q = ~ : Ao = 1 m 2 ; b) S 100 = 1- ( ~ ) 100 c) s = lim Sn = 1 d) no = 30 4. d, = 11 ,31 m; d2 = 5,66 m; 36,4 % q = _1_ 2 ---------------------- 92 ----------------------