12. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1984/85

4. Di e angegebeneSkizze gibt den Querschnitt einer Kugel mit einem ei ngesch riebenen Dreh- zylinder mit aufgesetztem Dreh- kegel an. Für welcheAbmessun- gen ist bei gegebenem Kugel- radius r dieSummedesZyl inder- und Kegelvolumens ein Maxi- mum. Berechnen Sie für diesen Fall auch dieses Volumen (3 Dez. ). L ös u n gen: 1. N2(- 0,45/0) , N 3 ( 4,45/0) , H (0.59/2,83). T (3,41 /-2,83) tw y = - 3x + 6, A = 4,5 E 2 2. AB = 2606 m, hA = 2286 m. h 8 = 3353 m. A' B' = 2377 m 3. X= 20,5; V = 2,82 ; S= 1,7 4. y = (y'28 - 1) . r/9 = 0,477r ; x = 0,879 r; V = 1,967r3 8. C-Klasse - Real istisches Gymnasium (Prof. Huber) 1. Diskutieren Sie die Funktion y = 10x e- x 212 (2 Dez. ). 2. Die Punkte P (- 2/2/3) und Q (0/10/5) liegen auf einer Kugel , deren Mittelpunkt auf der Geraden g durch A (1 /3/5) und B (- 4/6/7) liegt. BerechnenSie dieGleichung der Kugel , ihre Tangentialebenen in P und Q, sowie deren Schnittgerade (Parameterdarstellung) und Schnittwinkel. 3. Die Höhen von 38 Kiefern betrugen bei einer Stichprobe 17,0 20 ,6 22 ,6 19,2 20,3 21,8 18,6 23 ,1 17,7 19,5 20,5 21 ,2 19,0 23 ,6 17,9 19,5 18,8 20, 1 21,7 21,4 18,1 22,7 20,1 19,5 21, 1 20 ,7 24 ,9 20,9 19,8 22,2 20 ,2 19,7 22,5 20,7 21,3 18,1 20,9 19,8 Meter. - ----------- - -------- 91 Nehmen Sie eine Kl asseneintei lung beg innend mit 1 7;181 , ... vor, und berechnen Sie damit Näherungswerte für den Mittelwert, die Varianz und die Standardabwei- chung (geeignet ru nden). 4. Einer geraden quadratischen Pyramide mit der Sei tenlän- ge a und der Höhe h werden zwei Drehzylinder einge- schrieben , die auf der Quadratebene stehen. Der eine Zylinder berührt die Seitenflächen der Pyramide, der andere die Kanten. Berechnen Sie für beide Fälle die Abmessungen des Drehzylinders mit dem größten Volu- men und das Verhältni s der beiden Maximalvolumina (Term, Schräg rißskizze (n) ). Lösungen: 1. N = W1 (0/0) ; 11 y = 10x ; W2 (1,73/3,86) ; 12 y = - 4,46x+ 11 ,59 ; WJ(- 1,73/-3,86) ; b y = - 4,46x- 11 ,59; H (1 /6,07) ; T (- 1/-6,07) 2. M (- 4/6/7) ; r = 6; rp - x+2y+2z = 12; y 0 2x+2y- z = 15; sX = (0/7/-1) + 1(2/-1/2) ; -t = 90° 3. x = 20,5; v = 2,82 ; s = 1,7 4. r1 = a/3; h1 = h/3; r2 = if2ai3; h2 = h/3; V1V 2 = 1:2 8. □ - Klasse - Neusprachl. Gymnasium (Prof. Gruber) 1. Ein Hausbesitzer verlangt von einem Architekten , daß er in seinem Garten ein paraboloidförmiges Becken mit einem Oberflächendurchmesser von 4 m, einer Wassertiefe bei vollem Becken von 1,5 m und einem Grunddurchmesser von 2 m anfertigt. Wie viele IWasser faßt das Becken? Um wie vielem muß man das Wasserniveau senken, um nur noch halb so viel Wasser im Becken zu haben? (2 Dez. genau)