12. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1984/85

2. Gegeben si nd 2 Ebenen: c 1 [A(1/-2/0) , 8 (3/3/6) , C(-1/0/1) 1; e 2 -; = ( =i ) + l (-!) + µ ( _l) a) Ermi tteln Sie die Gl eichung der Kugel mit dem Mittelpunkt M (2/1/2), die die Schnittgerade s der beiden Ebenen als Tangen te hat. b) Spiegeln Sie den Punkt P (2/2/0) an der Ebene l, und zei- gen Sie, daß dieGeradeg IP', 0 (-2/0/5) 1und die Gerade s windschief sind . 3. Eine rotationssymmetrische Boje hat die Form eines Zylin- ders mit zwei aufgesetzten Halbkugeln. Der Rad ius der Halbkugeln ist di e Hälfte des Zylinderradius Wie ist der Zyl inder zu dimensionieren , damit bei gegebenem Volu- men V der Boje die erforderliche Blechmenge ein Minimum wird? Berechnen Sie diese Abmessungen und die zugehörige Oberfläche zuerst allgemein und dann für V = 1579,5 TC dm 3 . 4. In einer pharmazeut ischen Firma werden die beiden Sch lafmittel „ Schlafgut " und „ Schlafwohl " hergestellt. Die Herstel lung erfolgt in 4 Arbeitsgängen auf den Maschinen M, , M2 , MJ und M4. Au f jeder einzel nen Maschine kann zur gleichen Zeit immer nur für ein Präparat gearbeitet we r- den. Die Arbeitszeiten für 1 kg beider Mittel , die gesamten Betriebsstunden und die Gewinne sind in der folgenden Tabelle angegeben : Arbeitszeiten in Stunden für 1 kg Maximale Betri ebs- Schlafgut Schl afwohl stunden je Tag M, 0,25 0,50 7 M2 0,25 0,25 5 M, 0,50 8 M• 0,50 6 Gewi nn 1500 1000 Max Je kg in S , 89 Berechne die optimale Produktion dieser Firma a) Simplexverfahren b) Probe mit graphischem Verfah ren L ösungen 1. D l xlx> - 121, N, (0/0) , N2 (- 12/0) , H (- 8/4) , T (- 8/- 4) , W keine A = 66,51 E 2 S = (- 6,8/0) V = 108 TC E 3 3. r = ~ r = 9 dm, 4. x = 16 kg ,3/6V h =2V lli P' (0/-2/4) h = 18 dm, r, = 4,5 dm O = 526,5 TC dm 2 y = 4 kg Z = 28.000 S 8. B-Klasse (Prof. Pöllhuber) 1. Eine GLEICHSEITI GE ELLIPSE (a = b . v2) wi rd von der Geraden x = e geschnitten. Stell e eine Formel für a) das VOLUMEN des 'rechten' Rotationskörpers (bei Dre- hung um die x-Achse) , b) die Fläche des 'rechten' Ell1psensegmentes auf und c) berechne Volumen und Fläche für b = 5 (auf Ganze genau I). 2. Ein GRUNDBESITZER (Grund ABCD mit AB = 65 m, BC = 29 m, AD = 57 m, <i: BAD = 131°43 ', <t ABC = 107°22', Kaufpreis = 2 Mio. S) muß im Zuge eines Straßenbaues einen 15 m breiten STREIFEN ABEF (mit AB parallel zu EF) seines Grundes abtreten.