12. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1984/85

MA TH E MA TI K - 15. Mai 1985 8. A-Klasse - Neusprachl Gymnasium (OStR Fürlinger) 1. Ein Neptuniumisotop zerfällt unter a-Strahlung in Protac ti - nium. Man stellt zum gegenwärtigen Zeitpunkt 53,1g Nep- tunium fest. Nach 20 Minuten wird die Neptuniummenge nu r noch 40,3 g betragen. Berechne daraus die Zerfal ls- konstante A (3 Stellen+ 0) und die Halbwertszeit T in Minu- ten1 Nach welcher Zeit sind 1 % , 5 % , 45 % , 75 %, 90 % zerfal len , und welche Neptun iummenge war 75 Minuten vor dem gegenwärti gen Zeitpunkt vorhanden? 2. Di skutiere die Funktion y = - 6- (Symmetrie Null stellen x2 + 1 ' ' Extremwerte, Wendepunkte, Asymptoten) und zeich ne den Graphen im Bereich - 5 ~ x ~ 5 (E = 1cm) . Von den gleichschenkeligen, zur y-Achse symmet ri schen Drei- ecken , die ihre Spitze im Ursprung und die beiden ande- ren Ecken auf der Kurve haben , ist das mit dem größten Flächeninhalt zu bestimmen . Die von dem einen Schenkel dieses Dreiecks, der Kurve und der y-Achse ei ngesch los- sene Fläche rotiert um die y-Achse Berechne das Volu- men des Drehkörpersl 3. Gegeben sind die Kugel k [ ~-(J) J 2 = 49 und die Geraden g ~ = ( ~) + s. ( - ~) ~nd h ~ = ( - ~ ) + 1. ( ~ ) 3 2 Bestimme di e Koordinaten der Schnittpunkte S, und S2 derGeraden g und der Kugel k.Stelle dieGleichungen der Tangenti alebenen an kund S, und S2 auf , bestimme den Schni ttwinkel der beiden Ebenen und den Abstand des Punktes S2 von der Tangentialebene in S1. Zeige, daß die Gerade h die Kugel k berührt und gib die Koordinaten des Berührungspunktes anl 4. Bestimme die Hyperbel , welche dieselben Brennpunkte F, und F2 wie d ie Ell ipse 3x2 + 5y 2 = 120 hat und durch den Ellipsenpunkt P(5/+y) geht. Stelle die Tangenten an die beiden Kurven in P auf und suche ihre Schnittpunkte S, und S2 mit der y-Achsel Zeige, daß F,, F2,. P auf dem Kreis mit dem Durchmesser S,S2 liegenl Bestimme den Winkel zwischen den beiden Tangentenl L ös un ge n : 1. 0,0138 ; 50, 228 mi n; 149, 482 g 2. A = 3 FE ; V = 6,782 VE 3. S, (6/-1/5) ; S2 (-2/5/1); 79,416°; 5/ ; B (6/-1/5) 4. H 3x2 - 5y2 = 30 ; K (0/3; 5) ; 90° 8. A-Klasse - Realisti sches Gymnasium (Prof. G. Spruzina) 1. Di e Umrißkurve eines stromlinienförmigen Körpers ist durch die Funktionsg leichung 16y 2 = x 2 (x+12) gegeben . Die Drehachse ist die x-Achse. a) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstel len , Extremwerte, Wendepunkte, Graph - E = 1 cm) ,und bestimmen Sie den im Schnitt entlang der Drehachse entstehenden Win- kel an der Spitze des stroml inienförmigen Körpers. b) Die Umrißkurve stellt eine Sch lei fe dar. Berechnen Sie den Flächeninhalt und den Flächenschwerpunkt dieser Schleife. c) Wie groß ist das Volumen des stromlinienförmigen Körpers bei Rotation um die x-Achse? ------------ ---------- 88 ----------------------