9. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1981/82

MATHEMATIK - 7. Mai 1982 8. A-Klasse (Prof. Manfred Hafer) 1. Gegeben ist die Differentialgleichung p'(h) = - 1/ap(h). a) Zeichne die Linienelemente in den Gitterpunkten (0;:;, h;:;, 11) und (0;:;, p;:;, 8) und zeichne mit Hilfe des Richtungsfeldes die Lösungskurve durch den Punkt P (0/8). (LE = 1 cm). b) Obige Differentialgleichung stellt die Abnahme des Luft- druckes mit der Höhe dar und liefert die Barometrische Hö- henformel p (h) = p 0 .e·(1/8) h, wobei h in km zu messen ist und p 0 der Druck in Höhe des Meeresspiegels ist. (1) In welcher Höhe h ist der Druck auf die Hälfte von p 0 zurückgegangen? (2) An einem Ort wird ein Druck von 0,8 p 0 gemessen. Wie hoch liegt der Ort ? (3) Berechne den Druck , der in einer Höhe von 2 km herrscht! 2. Die Kurve k1 : y = cos2x wird im Punkt P (rr./6 / y) von der Kurve k2: y = a + b.sinx berührt. a) Berechne den Funktionsterm der Kurve k2 und untersuche diese Funktion auf Nullstellen , Extremwerte und Wende- punkte und zwar im Intervall [0 ,rr.]! b) Stelle beide Kurven im Intervall (0,rr.] graphisch dar (Ex=Ey=3cm)! c) Berechne den Flächeninhalt des von den beiden Kurven ein- geschlossenen Flächenstücks! 3. Die beiden Kurven k1 : y 2 = 4x und k2: y 2 = -8(x-8) beranden mit der x-Achse im ersten Quadranten ein Flächenstück. Diesem Flä- chenstück ist ein mit einer Seite auf der x-Achse liegendes Rechteck größten Flächen inhaltes einzuschreiben . a) Berechne das Verhältnis der Flächeninhalte von Rechteck und jenem Flächenstück , das die beiden Kurven k1 und k2 miteinander im ersten Quadranten einschließen! b) Obige zwei Flächenstücke rotieren nunmehr um die x-Achse. Berechne das Verhältnis der Volumina der beiden entstehen- den Drehkörper! 4. Ermittle die Gleichung jener Kugel mit dem kleinsten Radius , die die Geraden g(A (1/2/·3), B (3/1/-3)] und h : { xy: t: •i 3 berührt und stelle die Gleichungen der Tangentialebenen in den Berüh- rungspunkten auf und gib die gegenseitige Lage dieser beiden Tangentialebenen an! Errichte vom Punkt P (15/8/13) aus die Tangenten an die Kugel! Die Berührungspunkte erzeugen auf der Kugel einen Kleinkreis . Bestimme dessen Mittelpunkt und Radius! 61