8. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1980/81

und ein gleichschenkeliges Dreieck umgeschrieben. Die Para- belsehne ist Parallelseite des Trapezes und Grundlinie des Drei - ecks. Gib das Verhältnis der Flächeninhalte von Dreieck, Para- beisegment und Trapez an. 3. Errichte in den Schnittpunkten der Kugel IM(-4/1/-2); r = 5y3I . . {2x+y-3z= -1 mit der Geraden g. -4x-2y+z= -13 die beiden Tangen- tialebenen und bestimme die Gleichung der Schnittgeraden s dieser beiden Ebenen . Zeige, daß diese Gerades zur gegebenen Geraden g windschief liegt und bestimme den kürzesten Ab- stand dieser beiden Geraden . Berechne ferner die Koordinaten der Punkte G und S der windschiefen Geraden g bzw. s, die den kürzesten Abstand haben. 4. Die Parabel x 2 = 8y wird von einer gleichseitigen Hyperbel in er- ster Hauptlage berührt. Das zwischen Hyperbel , Parabel und der x-Achse im ersten Quadranten liegende Flächenstück wird durch die gemeinsame Tangente in zwei Teile geteilt. Diese bei - den Flächenstücke rotieren nunmehr um die y-Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Drehkörper und gib deren Ver- hältnis an. 8. C-Klasse (Prof. Manfred Hafer) 1. Die Ebene 8, geht durch den Punkt P (3/0/0) und hat den Nor- malvektor n=(1,-8,-14), €2 wird durch den Punkt Q (0/¼/0) und die Gerade g: 'e = (-1/J,0,0)+ .A (0,3,-1) festgelegt und c 3 ist durch die Dreiecksebene ABC IA (½/0/0), B (0/- 1/s/O) , C (0/0/- fo)I bestimmt. Untersuche mit Hilfe von Rangbetrachtungen die Lage der Ebe- nen und gib die Durchschnittsmenge c, ,...._ l 2 ,..... E 3 an. 2. Bestimme von der Kurve y = x.e - x die Nullstelle mit dem An- stieg, die Ext remstelle , den Wendepunkt mit dem Anstieg und stelle die Kurve im Bereich -1;;; x ;;; 4 graphisch dar (LE = 2cm). Berechne die Ordinate des Schwerpunktes jener Flä- che, die zwischen der Kurve und der positiven x-Achse li egt. Be- rechne ferner die Koon;iinaten des Schwerpunktes des spindel- förmigen Körpers, der entsteht, wenn sich obige Fläche umdie x-Achse dreht. 3. Die Ellipse x 2 +4y 2 = 32 wird im Berührungspunkt mit der Gera- den g:x+2y = 8 von einer Hyperbel senkrecht geschnitten. Be- stimme die Gleichung G.ler Hyperbel. Welche Punkte der Hyper- bel liegen dem Nebenscheitel der Elli pse am nächsten? Wie groß ist das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn das Flächenstück, welches von der Verbindungsgeraden Neben- scheitel der Ellipse zum nächstliegenden Punkt der Hyperbel , den beiden Kegelschnittlinien und der y-Achse rotiert? 4. Bestimme den Flächeninhalt und Umfang jenes Flächen- stückes , das die beiden in Polarkoordinaten gegebenen Kurven k, : S = 3a.cos0 und k2: :S = a (1 +cos0) miteinander einschlie- ßen. Stelle beide Kurven graphisch dar (a = 2, LE = 1 cm) und berechne den Schnittwinkel der Kurven. 63