6. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1978/79

30 4. Gegeben s ind e•ine Gern.de g . . . x + y + 8 = o und de r Kre is k . .. x 2 + y 2 - lOx - 14y + 54 = 0. a) Die Ge rad e sol l um den Punkt, der vom Mittelpunkt des Kreises kleinsten Abs tand hat, so lange gedreht w:e rden, hi s sie Tangente an den Kreis wird. Wie la uten die Gle ichun gen der Tangenten? b) In welchen Punk ten berühren die Tangenten den Kreis? Um wdd1en W ink el wurde gedreh t? 8. O-Klasse (Prof. Walter Hadeyer) 1. Einie gewöhn.hiebe Zyk loide ist i n ,der Parameterform durch ,dje Gl eich un ge n x = r (1p - s in ·(JJ) , y = r (1 - cos 1p) gegeben. a) Beweise, daß der Krümmun gsrndiu,s in jed em Punkt den Wert l 4rsin ·i~ 1 hat. b) Bestimme die Gleicln111,g der Evo lu te der Zykloid e. 2. Gegeben ist die Funktfon f : R + * R, x + c . x1n 4 x mit c li R. Berechn e das In teg ral di ese r Funkti011 im Intervall [I , e] Welchen Wert muß c arn1 ehmen, damit die so e rmi ttelt,e Fläcl1e di e Maßzahl l arnnimmt. 3. Auf e in e r Kug·el li egen die Punkte A (3/o /- 1), B (1 / 4/-1), C (-2/0 / 4). De r Mittelpunkt der Kuge l liegt in der Ebene cl ( ~) 1;; = 4. Berechne das Volume n jener Pyrami,de, di e das -s Dreieck ABC zur Grundflä d1e hat und de ren Spitze S der t iefste Punkt de r Kugel ist. Gib im Verhä l t ni s das Voh1111e n der Kugel, der Pyram id e und d.a.s des Res tkörpers an. ( 5 3 -2 J 1 2) 4 . Di e Matrix 3 s _ -6 112 stellt e inen Kegelschnitt dar. - 2 V2-6J/2 - 16 Bestimme di e Art de r Kurve, gib die Koordinaten de r Scheitielpunkte der ursprünglichen Kurve mit Hilfe der Mittelpunktslage unrd d er Rückt ra nsformation ,a n un d ze ichn e d iesen Kegel sdrn_itt. LÖSUNGEN zur sch1i ftli chen Reifeprüfu ng aus Mathematik S. A-Kla sse 1. a) H (1 / 1), T (- 1/-1), W1 (-3 /o) , W2 (o/o), Wa (3/o) b) A = 5,5452 2. a) M (1/- 1/ 6), r = 3 . 112, V = 2142,8 b) V1 = 48 7,66 V2 = 204 ,92 3 . a) H (o / a), 1W2 (± 1/ 2/2 6, afl/~ b) a = 2, b = 1/ i/~A = v' 2/e 4. a) Po l (25 /-20) b) M1 (2/ ~ ), M2 (-s / ~ ) , , c) V = 9 n