MATHEMATIK - 2. Mai 1978 8. A-KIasse (OStR. Färliytger) 1. Nach Abschluß der Prüfungen sollen an einer Schule 24 Schüler mit je einem Buch ausgezeichnet werden. Es stehen 5010 Schilling zur Verfügung, die restlos ausgegeben werden sollen. Es kommen drei Fachbücher für die Auszeichnung in Frage zum Preise von S 240.—, S 195.— und S 165.—. Wieviel Bücher müssen von jeder Sorte gekauft werden? 2. Bestimme in der Funktion y = . (a — x^) . e"" die Konstanten a und b so, daß der Graph der Funktion im Punkt A (— l/e) eine waagrechte Tangente besitzt. Untersuche die Funktion und zeichne ihren Graph (E = 2 cm). Berechne die Fläche zwischen der Kurve, den beiden Achsen und der Geraden x = 1. 3. Durch die Punkte A (—5/0/—1), B (3/7/1), C (3/—2/I), S (3/4/7) ist eine unregelmäßige dreiseitige Pyramide bestimmt. Diese Pyra mide wird von einer Ebene, die durch den Punkt B geht und nor mal zur Kante AS steht, geschnitten. Berechne die Koordinaten der Eckpunkte der Schnittfigur, die Seiten und Winkel der Schnittfigur und das Volumen der abgeschnittenen Pyramide. 4. Ein mit Wasser gefülltes Gefäß ist 25 cm hoch und hat die Gestalt eines einschaligen Drehhyperboloides, dessen Kehlkreis zugleidi der Basiskreis des Gefäßes ist. Die Kurvengleichung des Achsensdinittes ist 5 — y^ = 95. In das Gefäß wird eine Metallkugel gelegt, die den Randkreis des Hyperboloides berührt. Berechne den Inhalt des nach dem Einlegen der Kugel übriggebliebenen Wassers. 8. B-Klasse (Prof. Pöllhuber) 1. Wie lautet die Parabel 3.ter Ordnung, die im Koordinatenursprung einen Wendepunkt besitzt, hier auf y = x^ — 2x senkrecht steht und diese Kurve zweimal auf der x-Achse schneidet? Stelle die Kurven graphisch dar (E = 1 cm) und ermittle den Flächeninhalt zwischen den beiden Parabeln. 2. Berechne die Gleichung der Kugel mit dem Radius 10, die die y-Achse berührt, deren Mittelpunkt auf der Geraden V = (1,—4,8)+/. (5, 13, 0) liegt und die durch den Punkt A (12, 9, 16) geht. Anleitung: Zeichne die Projektion der Kugel auf die xz-Ebene (= Papierebene). 3. Stelle die Funktion y = In (x -F x^ + 1) und ihre Umkehr funktion in 0 ^ X ^ 2 (E = 2 cm) graphisch dar. Berechne anschließend die Fläche, die die gegebene Kurve mit der x-Achse zwischen den Ordinären x = 0 und x = 2 einschließt. (T1 30, alle Ergebnisse auf 2 Dezi genau!)
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