4. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1976/77

Über relative Extrema Von Heinridt Sdtn eider, Brüssel 1. D e f in i t i o n e n Aus Gründen der Einfad1hcit werden im folgenden nur soldie - reellen - Funktionen betraditet, die an einer gewissen Stelle a ER beliebig oft differenzierbar sind. f (a) heiße relatives Maxi111um von f (a relative Hochstelle) , wenn es rER + gibt, so daß für alle x mit a-r < x < a+r /\x "f' ,a f nur kleinere Werte als -f (a) .anninunt. Entspred1end heiße f(a) relatives Minimum von f (a relative Tiefstelle), wenn es rER + gibt, so daß für alle x mit a-r < x < a+r /\ x 'Fa f nur größere Werte als f (a) annimmt. Relative Maxima und relative Minima heißen relative Extrerna . 2. No t w e nd i g e u n d h i n r e i c h ende B e d i 11 g u n gen Bekanntlich liegt in a genau dann ein relatives Maximum vor, wenn gilt: { Die erste höhere Ableitung f (k) , die in a nicht ver- f' (a) = O /\ sd1wi ndet, ist von gerader Ordnung, und es gilt: (1) f (k) (a) < 0 Analog für ein relatives Minimum : { Die erste höhere Ableitung f (k), die in a nicht ver- f' (a) = O /\ sd1windet, ist von gerader Ordnung, und es gilt: (2) f (k) (a) > 0 3. V ere in •fachung e n Zur Freude der Sdlüler lassen sich die Formeln (1) und (2) vereinfadien. Gleichwertig mit (1) ist nämlich: Es gi bt n EN mit f ( 2 n) (a) < o u11:d f (h) (a) (3) o für alle h EN mit h < 211. Gleidlwertig mit (2) ist: (4) Es gibt n EN mit f ( 2 n) (a) > o tmd f (h) (a) = o für alle h EN mit h < 211. Anschrift des Verfassers : Prof. Dr. Heinrich Sdineider, rue Paul Bossu 6, B-115o Bruxelles, Belgien 60