4. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1976/77

3. Das Parallelogramm ABCD [A (7/2/ 3), B (1 / 3/ 4), C (-3/-2/ 7), D] ist die Basis einer vierseitigen Pyramide ABCDS, deren Körperhöhe im Mittelpunkt M der Basisfläche errich tet ist und deren Spitze S in der Ebene E : S'x + 6y - 3 z = 6 liegt. Berechne die Koordination von D und S, da,s Volumen der Pyramide und den kürzesten Abstand der Geraden AS und CD. 4. Eine Hyperbel mi t M = 0 und dem Brennpunkt F (5' / 2) geht durch den Punkt P (11 / 10). a) Stelle eine Gleichung der Hyperbel auf und best imme di e Koordinaten ihre r Sd1eitel. b) Zeige, daß die Tangente in P den Winkel der Leitstrahlen des Punktes P halbiert. c) Zeige, daß P das zwischen den Asymptoten liegende Teilstück dieser Tangente halbiert. 8. C-Klasse (Prof. Hadeyer) 1. Die hyperbolische Spirale hat die Gleichung r 1p = a. Zeichne ihre Kurve für a = 4 LE und bestimme die Gleidrnng der Tangente in Polarkoo rdinatio n sowie den Käimmungsradius unid den Krümnmngsmittelpunkt der gegebenen Kurve im 3 3t Punkt Po (-- , r). 4 2 . Der Gewinn pro Erzeugniseinheit beträgt für die Erzeugnjsse Et und Ei eines Betriebes 3000 S bzw. 1000 S. In den vier Abteil ungen , weld1e die beiden Erzeugnisse während ihrer Prod ukt ion zu durd1- laufen haben, bestehen Beschränkungen an Maschinenstunden, rue bei der Aufstell ung der gewinnmaximalen Erzeugniskombination zu beachten ·sind. Die vorhan denen Maschinenze iten (in Maschinen- stunden) in den vier Abteilu ngen sind ~1~1~1~ 18 80 12 15' Die notwendigen Maschinenst unden je Erzeugni seinheit sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: A1 A2 As A4 -- --- --- --- --- Ei 1 5' 1 E2 1 4 1 Wie hod1 ist der Maximalgewinn des Betriebes und mit weld1er Erzeugniskombination erreirot man ihn? Kontrolle durd1 graphische Darstellung. 3 . Wie müssen sich die Achsen einer Hyperbel zueinander verhalten, damit sich die Tangenten von einem Nebensd1eitel an die Hyperbel rechtwinkeli g sch neid en? 4. Beweise, daß die Menge ,der Punkte P (1p), die vo n zwe i festen Punkten P1 (1p1) und P2 (1p2) ein konstantes Absta ndsverhältnis J. =!= 1 haben, auf einem Kreis (ei ner Kugel) liegen. (Apolloniuskreis bzw. Apollonfoskugel) 27