1. Jahresbericht des Bundesgymnasiums Steyr 1973/74

Die Arbeit von OStR Dr. Ahammer „Lineare Gleichungssysteme und Lineare Optimierung·', die im 90. Jahresbericht des BG und BRG Steyr 1973 erschienen ist, gab Anlaß zu einem Hinweis, den wir im folgenden zum Abdruck bringen. GIBT ES „VERBINGE"? Heinrich Schneider in Brüssel 1. Der moderne Algebraunte rricht an der Sekundarstufe II wird auf die Strukturen Verband und Ring kaum verzichten wollen. Dabei kann die Frage auftreten, ob diese beiden Begriffe überlappen, d. h., ob es Ver- knüpfungsgebilde gibt, die bezüglich derselben Verknüpfungen sowohl ein Verband als auch ein Ring sind. Im folgenden wird auf einfache Art nachgewiesen, daß ein solcher „Verbing" nur mit einer Einsmenge als trivialer Trägermenge möglich ist. 2. Ein Verknüpfungsgebilde ( M , + , . ) bestehend aus einer nichtleeren Trägermenge M und zwei inneren Verknüpfungen + , . beißt ein V e r- b an d, wenn folgende 6 Axiome erfüllt sind: (V 1) V x, y s M X + y = y + X (V2) Vx,y s M X y = y X (V3) vx,y,z s M (x + y) + Z = X + (y + z) (V4) vx,y,z s M (x y) Z = X (y z) (VS) Vx,y s M X + (x y) = X (V6) Vx , y s M X (X + y) = X Ein Verknüpfungsgebilde (M , + , .) bestehend aus einer nichtleeren Trägermenge M und zwei inneren Verknüpfungen + , . heißt ein R i n g, wenn folgende 4 Axiome erfüllt sind: (R 1) V x , y s M : x + y = y + x (R 2) 'v' X , y , Z s M : (X + y) + z = x + (y + z) (R 3) V X ' y s M 31 z s M : X + z = y (R 4) V x , y , z s M : x . (y + z) = (x . y) + (x . z) (31 : Es gibt genau ein) (Viele Autoren verlangen auch noch die Kommutativität und/ oder die Assoziativität für die Verknüpfung . ) In jedem Ring gelten bekanntlich die beiden Sätze : (T 1) 31 n s M V x s M : x + n = x (T 2) V x s M 31x s M : x + x = n 3. Es liege nun ein Verknüpfungsgebilde (M , + , .) mit zwei inneren Ver- knüpfungen + , . vor, das sowohl die Axiome (V 1) , ... , (V 6) als auch (R 1) , ... , (R 4) erfüllt. 54 Wir treffen die Fallunterscheidung : a) M = {n} b) M enthält neben n noch mindestens ein weiteres Element. Im Fall a) sind mit den Verknüpfungsvorschriften n + n = n und n . n_ = n alle Axiome (V 1) , .. . , (R 4) erfüllt, und es handelt sich somit um einen „Verbing".